初高中数学动态模型实验室 - 129 个可拖动的在线演示模型（初中数学 60·高中数学 60·物理·化学·地理·生物·英语·历史·语文·道德与法治，老师上课投屏用）

初高中学段 129 个演示模型，打开就能拖、能点

这是悦师阁的「动态几何模型实验室」。里面每一个图形都不是录制好的动图：顶点可以拖、角度可以转，点一移动，所有边长和角度立刻按新坐标重算一遍，右侧数据跟着变——而模型要证的那条结论，比如「EF = BE + DF」「EG = 2AM 且互相垂直」，在任何位置都成立。

讲这类模型最难的地方在于：黑板上的图是死的，学生只能记住一个特例；而把顶点拖到边上、拖到极端位置，结论还在，学生才会相信这不是「刚好凑出来的」。

两种用法

已上线的模型（129 个 · 初中 69 + 高中 60）

初中数学 · 几何模型（60 个，下列为 4 个代表）

• 半角模型 · 截长补短：正方形里 ∠EAF = 45°，求证 EF = BE + DF。可以播放「把 △ADF 绕 A 旋转 90° 到 △ABG」的过程，看 DF 怎样与 BE 接成一条线段。
• 婆罗摩笈多模型：以三角形两边向外作正方形，中线与两个外侧顶点的连线互相垂直，且长度成 2 倍关系。拖三个顶点，比值和角度都不变。
• 菱形里的等边三角形：菱形 ∠BAD = 120°，∠EAF = 60°，△AEF 恒为等边三角形，CE + CF 是定值。拖 E 扫过整条边。
• 对角互补模型：角平分线上一点，张角与顶角互补，两边交两边得两条相等线段，且两段和是定值。支持 90°+90° 与 120°+60° 两种角度切换。

高中数学 · 函数与导数（10 个）

• 指数函数 y = aˣ / 对数函数 y = log_a x：拖底数 a，看两条图象怎样绕定点旋转、又怎样关于 y = x 对称——「互为反函数」不用背，一眼看出来。
• 导数的几何意义：x₀ 处取增量 h 作割线，h 一路缩小，割线绕 x₀ 转动，最后停在切线上；割线斜率与 f′(x₀) 的差恰好等于 h。
• f 与 f′ 图象对照：两条曲线画在一张图里，f′ 的正负与 f 的增减一一对应，f′ 穿过 0 的地方就是极值点。
• 定积分与黎曼和：把曲边梯形切成 n 个矩形，n 越大误差越小（约 4/n），n → ∞ 时收敛到 8/3。

高中数学 · 三角函数（10 个）

• y = A sin(ωx + φ)：A 管振幅、ω 管周期 T = 360°/ω、φ 管左右平移，三个滑块各司其职，最高点与周期实时标注。
• 图象变换的两种顺序：先平移 60° 再压缩、先压缩再平移 30°，两条路径终点重合，中间那步差在哪一看就明白。
• 正弦定理 / 余弦定理：拖三角形顶点，a ÷ sin A = b ÷ sin B = c ÷ sin C = 2R 恒成立；余弦定理在 C = 90° 时退化成勾股定理。

高中数学 · 解析几何（10 个）

• 椭圆的定义：拖点 P，PF₁ + PF₂ 始终等于 2a；a、b、c、e 的联动关系与离心率对形状的影响全部实时计算。
• 双曲线与渐近线：两支无限贴近 y = ±(b/a)x，||PF₁| − |PF₂|| 恒等于 2a。
• 抛物线的定义：|PF| 与 P 到准线的距离始终相等；焦点弦还有 x₁x₂ = p²/4、y₁y₂ = −p² 两个定值。
• 直线与圆的位置关系：比较 d 与 r 就能判断相离、相切、相交，相交时弦长 = 2√(r² − d²)。

高中数学 · 立体几何（10 个）

• 三视图：小正方体堆成的立体图形可以拖动转视角，正视图、左视图、俯视图三张方格图同步对照，长对正、高平齐、宽相等。
• 二面角：在棱上取点、两个半平面内各作垂线，两条射线的夹角就是平面角，换个取点位置大小不变。
• 外接球（补形法）：长方体八个顶点都在球面上，体对角线就是直径，2R = √(a² + b² + c²)。

高中数学 · 概率统计（8 个）

• 二项分布 B(n, p)：n、p 两个滑块，直方图实时重画，期望 E(X) = np 用红虚线标出。
• 正态分布 N(μ, σ²)：μ 管位置、σ 管胖瘦，±1σ / ±2σ / ±3σ 的面积占比直接给数（68.3% / 95.4% / 99.7%）。
• 线性回归：拖「离散程度」，最小二乘直线随之偏转，橙色残差竖线之和恒为 0。

高中数学 · 数列、向量与复数、不等式与集合（12 个）

• 错位相减：两行式子错位排开，中间同次幂相消的过程直接画出来，S = (n−1)·2ⁿ⁺¹ + 2。
• 平面向量基本定理：拖 c 的终点，λ、μ 唯一确定，平行线分解的过程同时画出。
• 基本不等式：半圆里半径 (a+b)/2 永远不短于垂线 √(ab)，只有 a = b 时取到等号。
• 线性规划：可行域是块多边形，目标线平移到最后接触的顶点就是最优解。

物理 · 力与光学

• 斜面受力分析：拖动斜面顶点改变倾角（15°–60°），拖动方块改变位置，动摩擦因数 μ 可用滑块调。重力分解成下滑分力 G∥ = G·sinθ 与垂直分力 G⊥ = G·cosθ，支持力 N = G·cosθ，静摩擦最大 μN。θ 小于临界角 arctan μ 时静止、摩擦与下滑分力平衡；超过临界角就加速下滑，右侧直接给出 a = g(sinθ − μcosθ)。「播放变角」自动扫过 15°–60°，能看见物块从静止到滑动的那一刻。
• 凸透镜成像规律：拖蜡烛改物距、拉滑块改焦距，三条特殊光线（平行光轴、过光心、过焦点）实时画出，像的位置、正倒、大小、虚实全部实时算。u > 2f 成倒立缩小实像、f < u < 2f 成倒立放大实像、u < f 成正立放大虚像（虚线反向延长线交于虚像）、u = f 不成像——五种情况一拖就能顺次看到。

化学 · 方程式

• 化学方程式配平：内置铁与氧气、乙炔燃烧、铝与稀盐酸三个反应。用「＋/−」调各物质的化学计量数，左右两侧每种元素的原子个数实时对照，不等的地方标红。全部相等才判定配平并提示是否已是最简整数比。点「演示配平」自动走到正确系数。

地理 · 地球运动

• 地球公转与昼夜：拖动地球沿轨道移动或用滑块调日期，实时显示太阳直射点纬度、40°N 的昼夜长短与正午太阳高度、极昼范围。「播放公转一年」能完整看一遍四季成因：春分秋分全球昼夜平分，夏至冬至直射点分别到达北、南回归线。

生物 · 细胞

• 细胞结构对比：动物细胞、植物细胞一键切换，点击图中任意结构（细胞壁、细胞膜、细胞质、细胞核、叶绿体、液泡、线粒体）即高亮并显示作用，动植物细胞的共有与特有结构一目了然。

英语 · 语法

• 英语时态时间轴：一般过去时、过去进行时、一般现在时、现在进行时、现在完成时、一般将来时六个常用时态在「过去—现在—将来」时间轴上各占一条，点击色条看结构公式、例句和典型标志词。

历史 · 时间轴

• 中国朝代时间轴：从秦到清十个时期按真实年份等比画条，长短即国祚长短。点击朝代看起止年份、持续年数、建立者、都城和关键事件。

语文 · 文言文

• 文言实词一词多义：之、其、以、而四个最高频文言实词，各 4 个常见义项，点义项出例句（含课文出处）和判断方法。

道德与法治

• 我国国家机构：人民 → 人民代表大会 → 国家主席、国务院、国家监察委员会、人民法院、人民检察院的关系图，点击每个机构看性质与职责，理解「国家机构由人大产生、对它负责、受它监督」。

目录里标注「制作中」的（电路动态分析、浮力与密度、等高线判读）还在做，其余 129 个已全部上线，这一页只标注真实进度。

常见问题